这是算法的第5题，描述如下：
给定一个字符串s， 找到s中最长的回文子串。你可以假设s的最大长度为1000.
示例1：
输入：”babad”
输出：”bab”
注意：”aba”也是一个有效答案。
示例2：
输入：”cbbd”
输出：”bb”
此题难度：中等，通过率30%过一点。
题解转自官方解法，链接如下：
转自：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/solution/zui-chang-hui-wen-zi-chuan-by-leetcode-solution/
方法一：动态规划
思路与算法
对于一个子串而言，如果它是回文串，并且长度大于 2，那么将它首尾的两个字母去除之后，它仍然是个回文串。例如对于字符串 “ababa”，如果我们已经知道
“bab” 是回文串，那么“ababa” 一定是回文串，这是因为它的首尾两个字母都是 “a”。
根据这样的思路，我们就可以用动态规划的方法解决本题。我们用P(i,j) 表示字符串 s 的第 i 到 j 个字母组成的串（下文表示成 s[i:j]）是否为回文串：
P(i,j) = true if 如果子串 Si…Sj 是回文串;
P(i,j) = false 其他情况。
这里的「其它情况」包含两种可能性：
s[i,j] 本身不是一个回文串；
i>j，此时 s[i,j] 本身不合法。
那么我们就可以写出动态规划的状态转移方程：
P(i,j)=P(i+1,j−1)∧(S_i == S_j)
也就是说，只有 s[i+1:j−1] 是回文串，并且s 的第i 和 j个字母相同时，s[i:j] 才会是回文串。
上文的所有讨论是建立在子串长度大于 2 的前提之上的，我们还需要考虑动态规划中的边界条件，即子串的长度为 1 或 2。对于长度为1 的子串，它显然是个回文串；对于长度为 2 的子串，只要它的两个字母相同，它就是一个回文串。因此我们就可以写出动态规划的边界条件：
P(i,i)=true
P(i,i+1)=(Si==Si+1)
根据这个思路，我们就可以完成动态规划了，最终的答案即为所有 P(i,j)=true 中 j−i+1（即子串长度）的最大值。注意：在状态转移方程中，我们是从长度较短的字符串向长度较长的字符串进行转移的，因此一定要注意动态规划的循环顺序。
复杂度分析
时间复杂度：
O(n^2)，其中 n 是字符串的长度。动态规划的状态总数为 O(n^2)，对于每个状态，我们需要转移的时间为 O(1)。
空间复杂度：
O(n^2)，即存储动态规划状态需要的空间。
方法2：中心扩展算法
思路与算法
我们仔细观察一下方法一中的状态转移方程：
P(i,j) = true;
P(i, i+1) = (S_i == S_i+1);
P(i,j)=P(i+1,j−1)∧(S_i == S_j)
出其中的状态转移链：
P(i,j)←P(i+1,j−1)←P(i+2,j−2)←⋯←某一边界情况
可以发现，所有的状态在转移的时候的可能性都是唯一的。也就是说，我们可以从每一种边界情况开始「扩展」，也可以得出所有的状态对应的答案。
边界情况即为子串长度为 1 或 2 的情况。我们枚举每一种边界情况，并从对应的子串开始不断地向两边扩展。如果两边的字母相同，我们就可以继续扩展，例如从 P(i+1,j−1) 扩展到 P(i,j)；如果两边的字母不同，我们就可以停止扩展，因为在这之后的子串都不能是回文串了。
聪明的读者此时应该可以发现，「边界情况」对应的子串实际上就是我们「扩展」出的回文串的「回文中心」。方法二的本质即为：我们枚举所有的「回文中心」并尝试「扩展」，直到无法扩展为止，此时的回文串长度即为此「回文中心」下的最长回文串长度。我们对所有的长度求出最大值，即可得到最终的答案。
复杂度分析
时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是字符串的长度。长度为 1 和 2 的回文中心分别有 n 和 n−1 个，每个回文中心最多会向外扩展 O(n) 次。
空间复杂度：O(1)。
代码如下（将两个题解放在一个文件里，分别为_s1和_s2):
def longestPalindrome_s1(s):
n = len(s)
dp = [[False] * n for _ in range(n)]
ans = ""
for l in range(n):
for i in range(n):
j = i + l
if j >= len(s):
break
if l == 0:
dp[i][j] = True
elif l == 1:
dp[i][j] = (s[i] == s[j])
else:
dp[i][j] = (dp[i+1][j-1] and s[i] == s[j])
if dp[i][j] and l + 1 > len(ans):
ans = s[i:j+1]
return ans
print(longestPalindrome_s1("fsafsdabbad"))
########################################################################
def expandAroundCenter(s,left,right):
while left >= 0 and right < len(s) and s[left] == s[right]:
left -= 1
right += 1
return left + 1, right - 1
def longestPalindrome_s2(s):
start, end = 0, 0
for i in range(len(s)):
left1, right1 = expandAroundCenter(s, i, i)
left2, right2 = expandAroundCenter(s, i, i+1)
if right1 - left1 > end - start:
start, end = left1, right1
if right2 - left2 > end - start:
start, end = left2, right2
return s[start: end+1]
print(longestPalindrome_s2("fsafsdabbad"))
作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/solution/zui-chang-hui-wen-zi-chuan-by-leetcode-solution/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
